Modellen voor de Menselijke Traan Film

Link: http://www.math.udel.edu/~braun/eyes.html

Traanfilm Groep


Dit was de groep in de Zomer van 2016.
L tot en met r, achterste rij: Rijk, Spencer, Kevin.
L tot en met r, voorste rij: Chris, Jerome, Amy, Mike.
Niet op de foto: Toby Driscoll, Christiaan Ketelaar, Javed Siddique, Tony Mastroberardino.

U van Delaware Leden

Richard Braun, Faculteit

Tobin Driscoll, Faculteit

Michael Stapf, Afgestudeerd student voor de zomer van 2012 Unidel programma en de huidige PhD-student.

Lan-Zhong, Afgestudeerd student in AY 2014-15, via het heden.

Kevin Aiton, Afgestudeerd student beginnen in de zomer van 2016.

Rayanne Lucas, Afgestudeerd student voor de zomer van 2017.

Medewerkers

Carolyn Begley, Indiana Universiteit

P. Ewen King-Smith, The Ohio State Universiteit

William Henshaw, Rensselaer Polytechnic Instituut

Kara Maki, Rochester Instituut van Technologie

Javed Siddique, Pennsylvania De Universiteit van de staat in York

Tony Mastroberardino, Pennsylvania De Universiteit van Erie

Ranganathan Usha, IIT Madras, India (bezocht in 07-08 bij UD)

Christiaan Ketelaar, Universidad Francisco Marroquin, Guatemala

Geoffrey McFadden, NIST

Daniel Anderson, George Mason Universiteit.

Recente Vooruitgang

Intro video ' s

Geïnspireerd door ARVO Thesis in Drie concurrentie in 2015, onze studenten hebben geproduceerd korte video ' s over hun projecten voor de niet-expert.

Nieuw! Tijdschrift van de Modellering in de Oogheelkunde!

Een nieuw tijdschrift gewijd aan de kruising van de oogheelkunde en wiskundige modellering publiceerde haar het eerste probleem! De oprichting van de redactie Drs. Alon Harris (Oogheelkunde) en Giovanna Guidoboni (Wiskunde), beide van IUPUI; Dr. Braun is op de redactie.

Blauwe Rotsen Spel 2015

Poseren met de Rocky Bluewinkle, de Blauwe Rotsen mascotte.

 

Meer Artikelen op de traanfilm

Naast de Voortgang in het Netvlies en het Oog Research paper (zie hieronder), wat meer papier zijn verschenen dit jaar.

  • "traanfilm Dynamics met Verdamping, Osmolariteit en Oppervlakteactieve stof Vervoer," J. Siddique en R. J. Braun, Appl. Math. Modeling, 39:255-269, 2015; doi.
  • De Effecten van het Verhogen van oogoppervlak Stimulatie op met Knipperen en de Scheur Secretie," Ziwei Wu, C. G. Begley, N. de Haven, A. Bradley, R. J. Braun en P. E. King-Smith, Investeren. Ophthalmol. Vis. Sci, 56:4211-4220, 2015; doi.
  • Berekend traanvocht en Osmolariteit Dynamics op een Eye-Vormige Domein," Longfei Li, R. J. Braun, T. A. Driscoll, W. D. Henshaw, J. W. Banken en P. E. King-Smith, Math. Med. Biol., 2015; doi.

samenwerking

Onze groep heeft samen met Carolyn Begley groep van de Indiana University School of Optometry. Ze maken gebruik van verschillende methoden om het imago van de traanfilm en zijn bereid om te delen heerlijk gegevens met ons. Het artikel hieronder is onze grootste gezamenlijke inspanning-to-date. Deze samenwerking wordt gefinancierd door Carolyn ' s NIH subsidie van de National Eye Institute.

bekijk het artikel over de traanfilm -- oogoppervlak georiënteerde

Een review artikel over scheuren films met veel nieuwe resultaten zijn verschenen in Vooruitgang in het Netvlies en het Oog het Onderzoek, een uitnodiging journal, in het begin van 2015. "De dynamiek en de functie van de traanfilm in relatie tot het knipperen cyclus" is momenteel online beschikbaar op in het tijdschrift de site van.

Aantal artikelen op scheuren breken en imaging

  • "traanfilm dynamics met verdamping, bevochtiging, en tijd-afhankelijke flux randvoorwaarde op een eye-vormige domein," Longfei Li, RJ Braun, KL Maki, WD Henshaw, PE King-Smith, Fysica van Vloeistoffen 26, 052101 (2014); doi
  • "Een Model voor de traanfilm Dunner Met de Osmolariteit en Fluoresceïne," RJ Braun, NR Gewecke, CG Begley, PE King-Smith en JI Siddique, Investeren. Ophthalmol. Vis. Sci. 55, 1133-1142, 201; doi
  • "Verdamping-gedreven instabiliteit van de precorneal traanfilm," C-C Peng, C Cerretani, RJ Braun en CJ Radke, de Vooruitgang in de Colloïde en Interface Science 206, 250-264, 2014; doi
  • "traanfilm Uiteenvallen en de Structuur Bestudeerd door de Gelijktijdige Video-Opname van Fluorescentie-en traanvocht Lipide Laag van Beelden," PE-King-Smith, KS Reuter, RJ Braun, JJ Nichols en KK Nichols, Investeren. Ophthalmol. Vis. Sci. 54, 4900-09, 2013; doi
  • "traanfilm Beelden en het Breken Geanalyseerd met Behulp van Fluorescerende Afschrikken," PE-King-Smith, P. Ramamoorthy, RJ Braun en JJ Nichols, Investeren. Ophthalmol. Vis. Sci. 54, 6003-11, 2013; doi

Aantal artikelen op het knipperen en koeling

De volgende artikelen waarbij knipperend onlangs verscheen.

  • "Warmte-overdracht en traanvocht dynamics over meerdere knipperen cycli," Quan Deng, RJ Braun en TA Driscoll, Phys. Vloeistoffen 26, 071901 (2014); doi
  • "Een model voor de traanfilm en oogoppervlak temperatuur voor gedeeltelijke knippert," Quan Deng, RJ Braun, TA Driscoll en PE King-Smith, Grensvlakken Verschijnselen en Warmte-Overdracht 1, 357-381, 2013; doi
  • "Een model voor de menselijke traan film met verwarming uit in het oog," Longfei Li en RJ Braun, Phys. Vloeistoffen 24, 062103 (2012); doi

de Voortgang van de Tweede NSF subsidie

bekijk het artikel over de traanfilm -- fluid mechanics georiënteerde

Een review artikel over scheuren films in de Jaarlijkse Evaluatie van Fluid Mechanics in druk verscheen in januari 2012. "De dynamiek van de traanfilm" is momenteel online beschikbaar op volume 44 van het tijdschrift.

Een recente praten op ons werk

Op een BIRS-workshop in December 2012, dit gesprek samengevat een aantal van onze recente werk.

Elementen van Thermische Modellen voor de traanfilm

Longfei Li een paper gepubliceerd op wiskundige modellen voor de traanfilm dat vangt waargenomen koeling van het oogoppervlak tijdens de interblink periode. Hij gebruikte modellen met een dikke, dunne of geen substraat. De dikke substraat nodig is voor het koelen van het oogoppervlak. Longfei was in staat om te identificeren van de optimale thermische eigenschappen overeenkomen met de waargenomen koeling in de ogen. Het papier over het onderwerp verschenen in de Fysica van Vloeistoffen (Een model voor de menselijke traan film met verwarming van binnen uit het oog, Phys. Vloeistoffen 24, 062103 (2012); http://dx.doi.org/10.1063/1.4723870)

de Verwerking van Lipide Microscoop Images

Kaijing Wang(Math grote, NSF REG ondersteund) en Christian Paul (Burgerlijke engrg grote) gewerkt met Drs Braun en Driscoll te automatiseren classificatie van beelden uit de lipide microscoop in de Ohio State University College of Optometry. Drie optometristen (Drs King-Smith, Nichols en Nichols) en hun collega 's gemaakt hebben duizenden foto' s van de lipide laag op de voorkant van het oog. Kaijing en Christelijke gewerkt met behulp van clustering methoden op een relatief kleine set van afbeeldingen die worden gebruikt in een ingezonden papier van de Ohio State groep. De resutls zijn zeer bemoedigend en werk zal blijven op het project. Dit project werd mede ondersteund door een REU een aanvulling op onze huidige subsidie (1022706) en door het HHMI subsidie hier bij UD.

Modellen voor de traanfilm en oogoppervlak Interactie

Jen Bruhns (QBio grote, HHMI ondersteund) en Doug Freeman (Math grote, NSF REG ondersteund) gewerkt met Dr Braun modellen het aansluiten van de traanfilm en het oogoppervlak door middel van osmose in het hoornvlies. Het model van het aangesloten de traanfilm met het cornea-epitheel dat werd oorspronkelijk ontwikkeld voor de muis ogen. Het werk is aan de gang na een goede start in de zomer. Dit project werd mede ondersteund door een REU een aanvulling op onze huidige subsidie (1022706).

de Voortgang van de Eerste NSF subsidie

Meerdere Knipperen Cycli en de traanfilm

We zijn met de smering van de theorie naar de ontwikkeling van niet-lineaire partiële differentiaalvergelijking(s) die van toepassing zijn van het vrije oppervlak van de menselijke traan film tijdens de volledige knipperen cyclus. In het eenvoudigste geval, het oppervlak van de folie wordt aangenomen dat stress (SF), als de traan vocht waren zuiver water; een andere vereenvoudiging van de limiet is die van een zeer sterke onoplosbare stof, waar de film surace strekt zich gelijkmatig (uniforme stretching beperken, of USL). In beperking, een enkele pde bepaalt de vorm van het vrije oppervlak; we hebben uitgebreid het werk van Jones et al (Wiskunde Med Bio, 2005) door toevoeging van extra effecten en computers voor de hele knipperen cyclus.We hebben berekend meerdere knipperen cycli voor deze beperking van gevallen met de vereenvoudiging van de sinusvormige beweging van de bewegende deksel. In dit geval, een MOL methode gebaseerd op uniforme eindige verschillen in ruimte en BDF methoden voor de daaruit voortvloeiende ODEs (via DASPK) werd gebruikt. Hoewel dit lijkt een radicale vereenvoudiging, het wordt nog steeds een aantal dingen goed. Bijvoorbeeld, er is een overgang tussen periodieke en niet-periodieke traanfilm evolutie voor onvolledige knippert; dat het de traanfilm gedraagt zich alsof er een volledige knipperen zelfs als de deksels d t volledig dicht. Ook, na een half knipperen, is er een dal in de scheur vloeistof aangeeft waar de deksel was; we hebben kwantitatieve laagdikte metingen van in-vivo-interferentie patronen te gebruiken voor vergelijking. De sinusvormige deksel beweging vangt het bestaan van deze vallei kwalitatief. Dit werk is verschenen in JFM (Braun en King-Smith, JFM 586 (2007) 465-490).We hebben opgelost de pdes met behulp van een aangepaste spectrale methode en met realistische deksel beweging uit knippert. De MOL methode kaarten Chebyshev punten in de ruimte te minimaliseren ronden fout in de hogere derivaten en gebruikt exacte flux waarden van de randvoorwaarden die bij de beoordeling van de ODEs aan de punten van het raster; de ODEs worden opgelost met behulp van ode15s in Matlab en de code werd ontwikkeld door Alfa Heryudono. De onderlinge aanpassing bespaart volume erg goed, meestal onder 0.0001 of beter relatieve fout over meerdere knipperen cycli; dit is een belangrijke verbetering ten opzichte van de vorige methode, gebaseerd op de uniforme eindige verschil raster. Met behulp van realistische deksel beweging, krijgen we een betere overeenkomst met de in vivo laagdikte metingen van de helft knipperen, en gewijzigd resultaten voor de overgang van periodieke niet-periodieke oplossingen voor de film. Dit werk is geaccepteerd voor publicatie in "Één-Vergelijking van modellen voor de traanfilm in een handomdraai Cyclus: Realistische Deksel Beweging," Wiskundige Geneeskunde en de Biologie (Heryudono, Braun, Driscoll, Maki, Koken en King-Smith, Wiskunde Med Biol 24, (2007) 347-377). De presentatie Alfa gaf in 2007 APS DFD vergadering is beschikbaar.Heryudono en Driscoll hebben ontwikkeld radial basis function methoden voor dit soort problemen. Zij publiceerden de resultaten voor een adaptieve rbf methode voor problemen die tweede-orde in de ruimte, die is gepubliceerd (Driscoll en Heryudono, "Adaptive resterende subsampling methoden voor radial basis function interpolatie en collocatie problemen," Comp. Appl. Math. 53 (2007) 927). Ze zijn ook gepubliceerd op de rbf algoritmen op www.matlabcentral.com.

Overlopende Netten in 1D en 2D

Reflex Scheuren in 1DEen overlopende grid methode ontwikkeld, voor een traan film probleem waarin opening en ontspanning, terwijl open, evenals de meer fysiologische effecten, door Kara Maki. De effecten zijn verbeterd flux randvoorwaarden voor scheuren levering en reflex scheuren, de ernst en de verdamping. Kara gaf deze talk op de APS DFD vergadering in 2007 (en de talk maakt gebruik van deze 37 MB film. Deze manscript is verschenen in "Een Overlopende Grid Methode voor de Studie van Reflex Scheuren" in de Wiskundige Geneeskunde en de Biologie (K. L. Maki, R. J. Braun, T. A. Driscoll, en P. E. King-Smith, Wiskunde Med Biol 25, (2008) 187-214.)

traanfilm dynamiek in 2D

Kara heeft ook 2D modellen van de post-knippert traanvocht via de Ouverture kader; Bill Henshaw (LLNL) helpt aanzienlijk met deze inspanning. In het eerste geval gebruiken we de smering vergelijkingen voor de traanfilm en de randvoorwaarden die bepalen de dikte van de folie en de druk bij de grens. Dit werk is is verschenen elctronically in Wiskundige Geneeskunde en de Biologie(doi:10.1093/imammb/dqp023).

We hebben ook geïmplementeerd flux randvoorwaarden; sommige voorbereidende werk werd gepresenteerd in deze talk op de 2008 APS DFD vergadering en elders. (Deze drie films werden gebruikt voor dit gesprek: dikte verschil (27MB), dikte verschil (50 MB) en dikte verschil (28MB).) De afbeelding links boven is de flux richtingsvectoren over elkaar heen grootte van de flux; donkerder geeft een tragere stroom. Scheur de vloeistof wordt geleverd uit temporele locatie van de traanklier, en is onttrokken aan de locaties van de puncta die in de buurt van de neus canthus (hoek) aan de linkerkant van het domein. De flux voorwaarden zijn onafhankelijk van de tijd, dat is een eerste model. (In een echte knippert, de aan-en afvoer van de scheur vloeistof zijn afhankelijk van en zijn nauw verbonden met deksel beweging.) De meeste van de stroming rond het deksel van de marges.

De afbeelding rechts is de dikte van de distributie op tijd 10 als de zwaartekracht is opgenomen in de simulatie. Maroon geeft aan groter dan of gelijk aan 3 micron; de donker blauwe is de minimale dikte. De hangende gebied van maroon geeft een uitstulping in de meniscus buiten de deksel van de marge. Voor de flux en de randvoorwaarden die we gemaakt hebben, de vloeistof in de bovenste meniscus kan breken door de zwarte lijn als er genoeg tijd is toegestaan tussen knippert. Dit werk met flux BCs is opgegeven, wordt de geaccepteerd voor publicatie in Journal of Fluid Mechanics en het zal in Maart 2010.

Bevochtiging en verdamping op het hoornvlies in 1D

Dan Anderson en de Kat in de Winter (dan een CSUMS undergrad aan de George Mason) gewerkt met Dr Braun op een model van de traanfilm dat is een bevochtiging van het hoornvlies en de verdamping van de traanfilm. Het model werd vergeleken met sommige in vivo waarnemingen van King-Smith aan de Ohio State, en het kiezen van twee parameters aan te passen op de "droge" laagdikte en de opening van de snelheid van de dunne regio leek te geven redelijke overeenkomst tussen deze meest fundamentele theorie en het experiment. Dit werk verscheen elektronisch in Wiskundige Geneeskunde en de Biologie (doi:10.1093/imammb/dqp019). Een gesprek met inbegrip van sommige van deze resultaten is gegeven in de volgende sectie. De talk bevat ook een aantal extensies van Pete Ucciferro, een REU student in de Zomer 09 en een onafhankelijke studie student in de Herfst 09; het werk werd gedaan als onderdeel van een GEMS team dat afgestudeerde studente Jiahua Tang, Pam, Chris Raymond en mij.

Effect van het Hoornvlies Vorm

het Vastleggen van Ooglid Beweging

Mevrouw Xiaolin Yang, een MS-student in de Afdeling van Computer-en informatiewetenschappen, die werkte met Dr Braun op het vastleggen van het deksel beweging tijdens een knipperen automatisch van high speed digitale films van knippert. De films werden gemaakt in het MEC Lab in de UD-Afdeling van de Wiskundige Wetenschappen met de hulp van Dr. John Pelesko. Ze heeft een code ontwikkeld die zou kunnen uitpakken kleinste kwadraten polynoom past van het knipperen van films met behulp van Sobel edge detectie met een aantal pre - en post-processing. Die wiskundige benadering die ze gegenereerd van een blink is al verwerkt in onze inspanningen voor het berekenen van de traanfilm evolutie in twee dimensies. Ze werkte samen met Braun in de zomer van 2006 en januari 2007. De code werd ontwikkeld in Matlab, en de code met enkele resultaten zullen op deze website verschijnen in de nabije toekomst.

De heer Peter Ucciferro (een Kwantitatieve Biologie major) en de Heer Paul Parsons (een grote fysicus) werden ondersteund door een REU aanvulling is voor deze NSF subsidie voor de zomer van 2007. Ze werkte op de evaluatie en uitbreiding van Xiaolin de algoritmen voor het vastleggen en wiskundig vertegenwoordigen ooglid beweging tijdens een knipperen. Ucciferro en Parsons opgenomen een aantal waarnemingen van knippert en uitgebreide software voor dit aspect van het project. Een aspect van hun werk is te gebruiken roifill te vervagen regio ' s rond de ogen, zodat die meer knipperen films kunnen worden gebruikt. Zij presenteerden hun resultaten op een uitstekende gezamenlijke presentatie tijdens de Departementale symposium over de zomer undergraduate research in augustus 2007.

Publiciteit

Uit de APS DFD 2008 virtuele perszaal, LiveScience heb een artikel over ons werk dat werd gepresenteerd op de bijeenkomst. Een seemlingly verwante artikel is verschenen in SoftPedia op ongeveer dezelfde tijd.Ons werk is vermeld in een korte samenvatting van de hoogtepunten van de 2007 vergadering van de traanfilm en oogoppervlak de Samenleving.

Mogelijkheden

Veel aspecten van dit project open te blijven staan voor onderzoek; join the team! Als u geïnteresseerd bent, neem dan contact op met Dr. Braun.

Alumni

PostNick Gewecke, postdoc UD, 2011-14, nu in een tenure track-positie bij het Dalton Staat in Georgië.Afgestudeerde studentenAmy Janett, U van Delaware, MS in de Toegepaste Wiskunde in de Zomer van 2016. Amy is vanaf Mitre Corporation in de Herfst van 2016.Longfei Li, doctor in de Toegepaste Wiskunde 2014. Longfei aanvaard Margaret A. Darrin postdoctoral fellowship aan de RPI met Bill Henshaw.Quan Deng, doctor in de Toegepaste Wiskunde 2013. Quan toegetreden Amazon in een onderzoek positie.Kara Maki , U van Delaware, doctor in de Toegepaste Wiskunde 2009. Na een IMA Postdoc, Kara lid van de School van de Wiskundige Wetenschappen in Rochester Institute of Technology Alfa Heryudono, U van Delaware, doctor in de Toegepaste Wiskunde 2008, nu op de faculteit in het Departement Wiskunde van de bij U Massa Dartmouth.Ryan Evans, U van Delaware afgestudeerde student in de zomer van 2013 en AY 2013-14.Kevin Buckman, U van Delaware student 2013 (Unidel programma).Tianyu Qiu, een Gediplomeerde student voor de zomer van 2012 GEMS-programma.Jiahua Tang, U van Delaware student 2010 (EDELSTENEN ondersteuning)Xiaolin Yang, U Delaware vrijwilliger zomer student 2007, MS in CIS op UD, vervolgens naar Duquesne U. Undergraduate studentenPete Ucciferro, Undergraduate zomer student 2007-2009 (NSF REG ondersteuning, 3 keer), Fall 2009 onafhankelijke studie; ging op naar Philadelphia College van Holistische Geneeskunde Paul Parsons, Undergraduate zomer student 2007 (NSF REG ondersteuning) Stacey Watro, Undergraduate zomer student 2010 (NSF REG ondersteuning)Douglas Freeman, Undergraduate zomer 2011 student. Wai-Kit Ricky Shum, Undergraduate zomer student 2011R. Christian Paul, Undergraduate zomer 2011 student. Kaijing Kevin Wang, student zomer en de herfst van 2011 (NSF REG-ondersteuning), die momenteel bij Ernst en Young.Jennifer Bruhns, Undergraduate HHMI geleerde (Zomer 2011, 2012), een Onafhankelijke studie 12S en UG proefschrift 12-13; het starten van New England College of Optometry in 2013. Jen won de departementale undergraduate research award in het Voorjaar van 2013.Vikramjit Singh, Undergraduate zomer geleerde 2012 en UG proefschrift 12-13.Dylan Chapp, Undergraduate zomer geleerde 2012 en onafhankelijke studie 2012-13. BS in Wiskunde 2014. Dylan ging aan een RA in de UD-CIS-afdeling; hij won de departementale undergraduate research award in het Voorjaar van 2014.Matthew Moye, in de Zomer van 2013 NSF REG student en AY 2013-14. Matt ging te graduate studie in de wiskunde op NJIT.Justin Grier, Zomer 2013 NSF REG student. Justin ging op tot het bijwonen van Nova Southeastern College of Optometry in het Najaar van 2015.Laura Cahill, de Zomer van 2015 NSF REG student. Laura ging op onderzoek in de publieke gezondheid.Joe Brosch, student, het Voorjaar en de Zomer van 2013, tot en met 2016. Joe won twee prijzen voor een poster presentaties op Gezamenlijke Wiskunde Vergaderingen, won de departementale undergraduate research award in het Voorjaar van 2016, en begon een baan bij Arotech in Michigan in het Najaar van 2016.Spencer Walker, de student, de Zomer van 2015, 2016 (NSF REG).Jerome Troje, de student, de Zomer van 2016 (UDMS).Chris Cornwell, Undergraduate student, de Zomer van 2016 NSF REG student.

Groep Foto ' s

Dit was de groep in de Zomer van 2015.
L tot en met r, voorste rij: Rijk, Mike, Spencer, Amy.
L tot en met r, achterste rij: Christiaan, Laura, Jan, Toby, Lan.
Niet op de foto: Javed Siddique, Tony Mastroberardino.

 

De groep in 2014.
Dit was de groep in de Zomer van 2014.
Van L naar r: Rijk, mark, jan, Longfei, Toby.
Niet op de foto: Javed Siddique, Ryan Evans.

 

 

Dit was de groep in de Zomer van 2013.
Achterste rij van l naar r: Quan, Joe, Longfei, Dylan, Kevin Ryan.
Voorste rij van l naar r: Toby, Nick, Rijk, Mat, Justin.
Niet op de foto: Christian.
We vierden een productieve zomer tijdens de lunch van die dag.

 

Dit was de groep in de Zomer van 2012.
Achterste rij van l naar r: Nick, Jen, Vikram, Longfei, Quan en Tianyu.
Voorste rij van l naar r: Rijk, Toby, Javed, Mat, Dylan en Michael.
We hadden een mid-zomer review die dag.

 

Dit was de groep in de Zomer van 2011.
Achterste rij van l naar r: Longfei, Jen, Ricky en Quan.
Voorste rij van l naar r: Javed, Rijk, Toby, Doug en Kaijing.
Niet op de foto: Christian.
We vierden een productieve zomer tijdens de lunch van die dag.

 

Dit was de groep in het Voorjaar van 2008.
Achterste rij van l naar r: Toby, Rijk en Pam.
Voorste rij van l naar r: Alfa, Kara en Usha -.
Alfa had met succes verdedigde zijn proefschrift op die dag.

Ondersteuning

Dit materiaal is gebaseerd op het werk werd ondersteund door de National Science Foundation onder Subsidie Nrs. 1412085, 1022706 en 0616483, en door de National Insitutes van Gezondheid (NEI) onder Subsidie No. 1R01EY021794. Meningen, bevindingen en conclusies of aanbevelingen die in dit materiaal zijn die van de auteur(s) en reflecteren niet noodzakelijk de standpunten van de National Science Foundation of de NIH.

De groep is ook dankbaar voor de steun van het Howard Hughes Medical Institute voor studenten en van de Universiteit van Delaware via het Kantoor van Undergraduate Research en Ervaringsgericht Leren, net als de Afdeling van de Wiskundige Wetenschappen.

 

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *